峰展宽的动力学和塔板高度
抖化学 / 2022-09-26
任何色谱体系的根本要素是柱中的溶质分子在流动区域和固定区域之间的分配(图2- 5)。有时这些区域是不同的物理相，但经常是区城之间的界面即颗粒的外表面与相的界面不同，后者是将所谓的流动相(洗脱液)与固定相(例如吸附剂表面，液体固定相或离子交换树脂相)分开。对于峰展宽的动力学进行精确的数学处理，这区别很重要，但对这里提出的比较定性的处理，则只要注意到存在着区别就已足够。因此，虽然名词“区域(zone)”和“相(phase)”将在下文中正确使用，但人们可按实用目的将之当作同义词。为了简单起见，假定在固定相和流动相之间的分配等温线是直线，从而e'不受溶质浓度的影响。假设一个溶质谱带沿柱子迁移某一距离之后，洗脱液停止流动，则溶质本身将在固定相和流动相之间依平衡比率进行分配:
溶质在固定相中的平衡量,qs(eq)
k'eq=------------------------------------------------------
溶质在流动相中的平衡量,qm(eq)
因为是动态平衡，所以经过足够长的时间以后，任何一个分子将在两相中以同一比例分配它的停留时间:即
溶质分子在固定相中平均停留时间
k'eq=----------------------------------------------------
溶质分子在流动相中平均停留时间
这一关系式也适用于分子在固定区城和流动区城中的数量和停留时间。
当洗脱液又开始流动时，任何分子在流动相或区域停留的时间分数将不变，而且对溶质分子的整个谱带而言，其数量的比事也和平衡时完全一样。这一结论极重要，它意味着，谱带中心相对于洗脱液的移动速度，是由溶质在流动相和固定相之间的平衡分配所支配;亦即
谱带的相对移动速度R=1/(1+k'eq
然而，仔细检验色谱谱带内部的浓度分布时就会发现，不可能在谱带的每一点上都平衡，而在峰尖两侧的确有不平衡的情况。这可看图2-6,由于流动相流动的结果，在 流动区域测量所得溶质浓度分布曲线稍为走在固定区城中相应谱带的前面。不难了解，
图9-0流动相和固定相或两个区城中的浓度轮廓，表示由流动引起的扰动
如果洗脱相液速度u增大成平衡速率降低时，两个谱带的位移&z将合增点:头际上，它可严格地表示为&z-ugT
式中u。是流动区域的线速度，而T是平衡所需的时间。现在可以证明，就是这两个分谱带的细小位移引起了峰的扩展。可以看到在谱带的中心，比率qs/qm等于平衡分配比率qs(eq)/qm(eq)o
而在中心地带的上游qs/qm大于qm(eq);而下游的qs/qm则小于qs(eq)/9m(eq);
也即
(qs/qm)上游>k'eq>(qs/qm)下游
任何溶质带的移动速度公式是
u
U速=-------------------
1+(qs/9m)
对于组成所有谱带的不同溶质的分子束来说
U谱带中心上游<U中心<U谱带中心下游
显然，这是谱带扩展的概念，因为相对于中心而言，谱带的两翼慢慢向外移动。
这个结论是了解色谱法的一个中心问题，因为它证明了谱带扩展是直接与流动所引起的偏离平衡有关。要在明显偏离平衡的条件下有效地运转色谱体系是不可能的。因此，以平衡速度的差异为基础所提出的分离机理是不正确的。
数学分析表明，由于慢平衡引起的任何谱带扩展将与移动距离的平方根成比例:即
ω2= 16Hz
而常数H又正比于&z:
H=2(1- R)δz=2(1-R)uoT
H可看作柱内某种“平衡距离”。在Martin和Synge[3)的早期理论中H定义为柱的一个片段的厚度，而洗脱液从这个片段出来时的组成与洗脱液在该片段平衡后再流出时的组成相同。方程( 2-22 )使以流速和平衡时间表示的这一定义定量化了。一般说
来，τ是难以明确计算的， 但有两种简 单的情况(例如见参考文献4)。当极限过程是溶质越过流动区城和固定区域之间的界面的转移时，那末
1
ι=-------------
ka+kb
式中心和人是溶质吸附进人固定区域和从固定区域解吸出来的速率。
根据动力学k'=ka/kb,同时R-1/(1+k')，得到
k' u
H=------------·(-----)
(1+k')2 ka
这在实用上并非特别有用的结果，因为平衡中的关键问题通常不是越过颗粒外表面的传递。而总是在固定区域或停滞区域内的扩散。这种扩散过程的时间常数是:τ=d2/2D
式中d是扩散距离的均方根，D是扩散系数。当在固定区域中的扩散起限制作用时，H的方程变为
k' ud2
H=-----------(--------)
(1+k')2 Ds
D是颗粒直径(对于均一的多孔粒子如硅胶类)或外壳厚度(薄壳或实心核的材料的情况) ; Ds是在固定区城的平均扩散系数;9是构型因子，对均匀的球体取值1/30而对薄壳材料取值2/3。
当在流动相中的扩散起限制作用时，适用的方程如下式
qa+q?k+q?k'2 ud2p
H=------------------------(----------)
(1+k')2 Dm
q0、q1、q2是构型因子，它们反映流动的几何形状， 但除了在特殊情况(例如象高雷处理中的空心柱)之外-般无法估价，D.是溶质在流动相或流动区域中的扩散系数。
为了实用目的，所有这些方程都太复杂，我们只需要考虑它们的一般特征。首先，流动区城和固定区域之间的慢平衡对H的全部贡献必须具有下列形式Hne=Cu
常散C正比于扩散距离的平方，因而对给定的颗粒类型正比于d2p C也与k'后有关，对于优良的充填材料，当k'从0增加到无用大时:通常C逐渐增大至一倍或稍小的倍数。C与所在区域中的护放系数成反比。
前已提判换算塌板高度h=H/d,在实际表示柱性能方面确实比H更为有用。从理论观点它也是更为有用的。假定多孔颗粒充满了流动相，因而D。可近似于Dm,就得到
ud2p
Hne=∮(k')------------
Dm
或
udp
Hne=∮(k')--------------
Dm
组合(udp/Dm )是无量纲的，可简单解释如下:
udp d2p u
---------2x(-----------)(------)
Dm 2Dm dp
d2p
扩散经过一个颗粒的时间(---------)
2Dm
=2x--------------------------------------------------
洗脱液流过一个颗粒的时间(dp/u)
越过颗粒的流速
=2x----------------------------------------
越过颗粒的扩散速度
这个组合称为换算速度，以ⅴ表示:
V= udp/Dm
式中Dm是溶质在流动区域的扩散系数。因此
hne=∮(k')v=Cv
实验得出C的范围在1x10﹣2到5x10﹣2。
因此换算塔板高度就是越过一个单独颗粒的流动和扩散作用之间的平衡值的简单函数。流动引起谱带的扩展，而扩散则倾向于限制这一扩展效应。
然而，任何柱内都存在着除慢平衡以外的其它扩展机理。即使不存在分配作用，如在充填玻璃微珠的柱内，曲折和不平均的流动也引起扩展。这种扩展部分地来自通过颗粒间的流速的变化;这些变化所引起的扩展同时受到跨通道扩散和沿任何流路的随机速度变化的对抗作用。同样，扩散距离正比于颗粒直径，流动是引起扩展的因子。它对塔板高度的贡献可仍以一般方式表示
h流动=∮(v)
函数的形式无法从理论上推导，但实验表明「5]对于实用目的为
h流动=Av0.33
式中A的数量级是1。
第三个扩展机理是纵向或轴向扩散。因为谱带在柱中停留的时间与1/u成比例，这一效应产生的扩展或塔板高度的一般形式为
2γDm
H扩散=--------------
u
式中γ是一个常数。用换算值表示就变成:
2γ B
h扩散=--------=-------
v v
式中B的值通常约为2。将所有这些贡献加起来就得到
B
h=---- + Av0.33+Dv
v
对v的依赖方式示于图2-7。
图2-7换算塔板高度h对换算速度v的对数曲线图，表示方程( 2-38 )中各项的典型贡献
换算参数方法的一个重要特点是，对于充填不同粒径同种材料的柱，可得到相同的(h,v)曲线。因而以换算塔板高度对换算速度作图，能在前后一致的基础上比较不同材料性能的理想方式。此外，可以很方便地决定一根柱子或充填材料是否正常，
因为当换算速度在5左右，h的最低值应在2和3之间，而V=100时，h不应比10大得太多。
微粒材料的某些典型值示于图2-8。
图2-8微粒Spherisorb氧化 铝的换算塔板高度曲线
薄壳材料是发展用于HPLC的第一种优质充填材料，根据的概念是将传质限制在一层外壳中 以降低其在固定区域中的扩散距离。这由Kirkland在一种后来称为Zipax(DuPont公司商晶名)的材料中很成功地实现了。制作优质薄壳材料的秘密在于制造一层薄的、均匀的和不受约束的多孔薄膜(外壳)。对于Zipax,最小h值小于2，即使在v=100, h也仅为5。随后的许多制造薄壳材料的尝试就不那么成功。简单的显微镜观察有时显示出薄壳层十分粗糙、厚度不匀并和颗粒熔在一起。因为H中的传质项与均方扩散距离有关，所以不均匀外壳的厚的部分就对H的大小起主要作用。因此，如果厚度不是非常均匀，薄壳层的优越性就大部分丧失了。可能就是由于这种原因，当前市场上的多数薄壳材料，很少或完全不优于同样大小的多孔材料。除少数例外，薄壳材料与同样尺寸或稍小的均匀多孔材料比较，并无多大优点。
多孔颗粒在固定相或区城中的慢扩散对h的传质贡献具有下列形式
k' Dm
hne=q-------------=---------V
(1+k')² Ds
式中DS是溶质分子在这一区域中移动时的表观扩散系数。
重要的是应使Ds尽可能大。通常它最大可等于Dm,这在大孔吸附剂可以达到，但在许多色谱填充物中Ds可能很低。这样的填充物是低效的而且分离很慢。Ds的低下有两个主要原因:
( 1 )如果固定相是多聚物，Ds比在一个非粘性液体中可低10~ 100倍:例如D(已烷)≈3×10﹣³毫米²/秒; D(H₂O)≈10﹣³亳米²/秒; D(聚苯乙烯)≈10~5毫米²/秒。 由于这一原因，离子交换树脂是很不好的色讲材料，除非在(h,v)曲线的最低点操作，该处的传质
贡献减至最小。同样，多聚物涂层的薄壳材料通常劣于吸附剂层或涂敷有液体固定相层的材料。
( 2 )如果填充物含有小于比如说5纤米直径的微孔，溶质分子就会陷入，并难于逃逸。这就产生慢传质，表现为大的C项。此外，这类材料经常产生峰的拖尼，可能是因为分子在紧凑的角落里受到很大的吸引力。图2 9表示儿种典型填充物的比较数据，它说明了上述的结论.
.jpg "一根填充色谱柱结构的图解说明")
.jpg "任何色谱体系的根本要素是柱中的溶质分子在流动区域和固 定区域之间的分配(图2- 5)。有时这些区域是不同的物理相， 但经常 是区城之间的界面即颗粒的外表面与相的界面不同，后者 是将所谓的流动相(洗脱液)与固定相(例如吸附剂表面，液体固定相或离 子交换树脂相)分开。对于峰展宽的动力学进行精确 的数学处理，这区别很重要，但对这里提出的比较定性的处 理，则只要注意到 存在着区别就已足够。因此，虽然名词“区域 (zone)”和“相(phase)”将在下文中正确使用，但人们可 按实用目的将之当作同义 词。为了简单起见，假定在固定相和流 动相之间的分配等温线是直线，从而e'不受溶质浓度的影响。假 设一个溶质谱带沿柱子迁移 某一距离之后，洗脱液停止流动，则 溶质本身将在固定相和流动相之间依平衡比率进行分配: 溶质在固定相中的平衡量,qs(eq) k'eq=-------------------------------------- 溶质在流动相中的平衡量,qm(eq) 因为是动态平衡，所以经过足够长的时间以后，任何一个分子将 在两相中以同一比例分配它的停留时间:即 溶质分子在固定相中平均停留时间 k'eq=-------------------------------------------- 溶质分子在流动相中平均停留时间 这一关系式也适用于分子在固定区城和流动区城中的数量和停留 时间。 当洗脱液又开始流动时，任何分子在流动相或区域停留的时 间分数将不变，而且对溶质分子的整个谱带而言，其数量的比事 也 和平衡时完全一样。这一结论极重要，它意味着，谱带中心相 对于洗脱液的移动速度，是由溶质在流动相和固定相之间的平衡 分配 所支配;亦即 谱带的相对移动速度R=1/(1+k'eq 然而，仔细检验色谱谱带内部的浓度分布时就会发现，不可能在 谱带的每一点上都平衡，而在峰尖两侧的确有不平衡的情况。这 可 看图2-6,由于流动相流动的结果，在 流动区域测量所得溶质 浓度分布曲线稍为走在固定区城中相应谱带的前面。不难了解， 图9-0流动相和固定相或两个区城中的浓度轮廓，表示由流动 引起的扰动 如果洗脱相液速度u增大成平衡速率降低时，两个谱带的位移&z将 合增点:头际上，它可严格地表示为 &z-ugT 式中u。是流动区域的线速度，而T是平衡所需的时间。现在可 以证明，就是这两个分谱带的细小位移引起了峰的扩展。可以看 到在 谱带的中心，比率qs/qm等于平衡分配比率qs(eq)/qm(eq)o 而在中心地带的上游qs/qm大于qm(eq);而下游的qs/qm则 小于qs(eq)/9m (eq); 也即 (qs/qm)上游>k'eq>(qs/qm)下游 任何溶质带的移动速度公式是 u U 速=------------------- 1+(qs/9m) 对于组成所有谱带的不同溶质的分子束来说 U谱带中心上游<U中心<U谱带中心下游 显然，这是谱带扩展的概念，因为相对于中心而言，谱带的两翼 慢慢向外移动。 这个结论是了解色谱法的一个中心问题，因为它证明了谱带 扩展是直接与流动所引起的偏离平衡有关。要在明显偏离平衡的 条 件下有效地运转色谱体系是不可能的。因此，以平衡速度的差 异为基础所提出的分离机理是不正确的。 数学分析表明，由于慢平衡引起的任何谱带扩展将与移动距 离的平方根成比例:即 ω2= 16Hz 而常数H又正比于&z: H=2(1- R)δz=2(1-R)uoT H可看作柱内某种“平衡距离”。在Martin和Synge[3)的早 期理论中H定义为柱的一个片段的厚度，而洗脱液从这个片段出 来时的组 成与洗脱液在该片段平衡后再流出时的组成相同。方程 ( 2-22 )使以流速和平衡时间表示的这一定义定量化了。一般说 来，τ是难 以明确计算的， 但有两种简 单的情况(例如见参考文 献4)。当极限过程是溶质越过流动区城和固定区域之间的界面 的转移时，那 末 1 ι=--------- ka+kb 式中心和人是溶质吸附进人固定区域和从固定区域解吸出来的速 率。 根据动力学k'=ka/kb,同时R-1/(1+k')，得到 k' u H=------------?(-----) (1+k')2 ka 这在实用上并非特别有用的结果，因为平衡中的关键问题通常不 是越过颗粒外表面的传递。而总是在固定区域或停滞区域内的扩 散 。这种扩散过程的时间常数是: τ=d2/2D 式中d是扩散距离的均方根，D是扩散系数。当在固定区域中的 扩散起限制作用时，H的方程变为 k' ud2 H=-----------(-----) (1+k')2 Ds D是颗粒直径(对于均一的多孔粒子如硅胶类)或外壳厚度(薄 壳或实心核的材料的情况) ; Ds是在固定区城的平均扩散系数; 9是构型 因子，对均匀的球体取值1/30而对薄壳材料取值2/3。 当在流动相中的扩散起限制作用时，适用的方程如下式 qa+q?k+q?k'2 ud2p H=------------------(------) (1+k')2 Dm q0、q1、q2是构型因子，它们反映流动的几何形状， 但除了在 特殊情况(例如象高雷处理中的空心柱)之外-般无法估价， D.是溶质 在流动相或流动区域中的扩散系数。 为了实用目的，所有这些方程都太复杂，我们只需要考虑它 们的一般特征。首先，流动区城和固定区域之间的慢平衡对H的 全部 贡献必须具有下列形式 Hne=Cu 常散C正比于扩散距离的平方，因而对给定的颗粒类型正比于 d2p C也与k'后有关，对于优良的充填材料，当k'从0增加到无 用大时: 通常C逐渐增大至一倍或稍小的倍数。C与所在区域中 的护放系数成反比。 前已提判换算塌板高度h=H/d,在实际表示柱性能方面确实 比H更为有用。从理论观点它也是更为有用的。假定多孔颗粒充 满了流动 相，因而D。可近似于Dm,就得到 ud2p Hne=∮(k')- ----- Dm 或 udp Hne=∮(k')- ----- Dm 组合(udp/Dm )是无量纲的，可简单解释如下: udp d2p u -----2x(------)(----) Dm 2D m dp d2p 扩散经过一个颗粒的时间(-----) 2Dm = 2x-------------------------- ------- 洗脱液流过一个颗粒的时间(dp/u) 越过颗粒的流速 =2x------------------------ 越过颗粒的扩散速度 这个组合称为换算速度，以ⅴ表示: V= udp/Dm 式中Dm是溶质在流动区域的扩散系数。因此 hne=∮(k')v=Cv 实验得出C的范围在1x10﹣2到5x10﹣2。 因此换算塔板高度就是越过一个单独颗粒的流动和扩散作用 之间的平衡值的简单函数。流动引起谱带的扩展，而扩散则倾向 于 限制这一扩展效应。 然而，任何柱内都存在着除慢平衡以外的其它扩展机理。即 使不存在分配作用，如在充填玻璃微珠的柱内，曲折和不平均的 流 动也引起扩展。这种扩展部分地来自通过颗粒间的流速的变 化;这些变化所引起的扩展同时受到跨通道扩散和沿任何流路的 随机速 度变化的对抗作用。同样，扩散距离正比于颗粒直径，流 动是引起扩展的因子。它对塔板高度的贡献可仍以一般方式表示 h流动=∮(v) 函数的形式无法从理论上推导，但实验表明「5]对于实用目的为 h流动=Av0.33 式中A的数量级是1。 第三个扩展机理是纵向或轴向扩散。因为谱带在柱中停留的 时间与1/u成比例，这一效应产生的扩展或塔板高度的一般形式 为 2γDm H扩散=--------- u 式中γ是一个常数。用换算值表示就变成: 2γ B h扩散=----=----- v v 式中B的值通常约为2。将所有这些贡献加起来就得到 B h=---- + Av0.33+Dv v 对v的依赖方式示于图2-7。 图2-7换算塔板高度h对换算速度v的对数曲线图，表示方程 ( 2-38 )中各项的典型贡献 换算参数方法的一个重要特点是，对于充填不同粒径同种材 料的柱，可得到相同的(h,v)曲线。因而以换算塔板高度对 换算速度 作图，能在前后一致的基础上比较不同材料性能的理想方式。此外，可以很方便地决定一根柱子或充填材料是否正常， 因为当换算 速度在5左右，h的最低值应在2和3之间，而V= 100时，h不应比10大得太多。 微粒材料的某些典型值示于图2-8。 图2-8微粒Spherisorb氧化 铝的换算塔板高度曲线 薄壳材料是发展用于HPLC的第一种优质充填材料，根据的 概念是将传质限制在一层外壳中 以降低其在固定区域中的扩散距 离。 这由Kirkland在一种后来称为Zipax(DuPont公司商 晶名)的材料中很成功地实现了。制作优质薄壳材料的秘密在于 制造一层薄的、 均匀的和不受约束的多孔薄膜(外壳)。对于 Zipax,最小h值小于2，即使在v=100, h也仅为5。随后 的许多制造薄壳材料的尝试就不 那么成功。简单的显微镜观察有 时显示出薄壳层十分粗糙、厚度不匀并和颗粒熔在一起。因为H 中的传质项与均方扩散距离有关， 所以不均匀外壳的厚的部分就 对H的大小起主要作用。因此，如果厚度不是非常均匀，薄壳层 的优越性就大部分丧失了。可能就是 由于这种原因，当前市场上 的多数薄壳材料，很少或完全不优于同样大小的多孔材料。除少 数例外，薄壳材料与同样尺寸或稍小的 均匀多孔材料比较，并无 多大优点。 多孔颗粒在固定相或区城中的慢扩散对h的传质贡献具有下 列形式 k' Dm hne=q--------=-----V (1+k')² Ds 式中DS是溶质分子在这一区域中移动时的表观扩散系数。 重要的是应使Ds尽可能大。通常它最大可等于Dm,这在大 孔吸附剂可以达到，但在许多色谱填充物中Ds可能很低。这样 的填充物 是低效的而且分离很慢。Ds的低下有两个主要原因: ( 1 )如果固定相是多聚物，Ds比在一个非粘性液体中可 低10~ 100倍:例如D(已烷)≈3×10﹣³毫米²/秒; D(H₂O)≈10﹣³亳 米²/秒; D(聚苯乙烯)≈10~5毫米²/秒。 由于这一原因，离子交换树 脂是很不好的色讲材料，除非在(h,v)曲线的最低点操作，该 处的传质 贡献减至最小。同样，多聚物涂层的薄壳材料通常劣于 吸附剂层或涂敷有液体固定相层的材料。 ( 2 )如果填充物含有小于比如说5纤米直径的微孔，溶质 分子就会陷入，并难于逃逸。这就产生慢传质，表现为大的C 项。此外， 这类材料经常产生峰的拖尼，可能是因为分子在紧凑 的角落里受到很大的吸引力。图2 9表示儿种典型填充物的比较 数据，它说明了上述的结论.")
.jpg "图2-7换算塔板高度h对换算速度v的对数曲线图，表示方程 ( 2-38 )中各项的典型贡献")
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